SISTEMAS DE M LTIPLES GRADOS DE LIBERTAD AN LISIS MODAL

Sistemas De M Ltiples Grados De Libertad An Lisis Modal-PDF Download

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Introducci n 3,Objetivos del tema 4,Aprendizajes previos 4. Desarrollo del tema 5,Sistemas de varios grados de libertad 5. BIBLIOGRAF A 13, Sistemas de m ltiples grados de libertad 26 nov 2018 Ing David G C P gina 2. INTRODUCCI N, El presente documento contiene el desarrollo escrito del tema Sistemas de m ltiples. grados de libertad y an lisis modal espectral tema que forma parte del tema 2. Din mica Estructural dentro del programa de estudio de la unidad de aprendizaje. de An lisis Estructural 2 El alcance de este trabajo es mostrar como se modela un. edificio de varios grados de libertad la obtenci n de la ecuaci n din mica las. frecuencias modos de vibrar y un an lisis modal espectral utilizando las Normas. T cnicas Complementarias de Dise o por Sismo de la Ciudad de M xico. publicadas en 2017, El tiempo dedicado al desarrollo en el aula es de tres a cuatro sesiones de dos horas.
cada una Destinando dos clases para la teor a fundamental y dos clases para. ejercicios Cabe aclarar que en el desarrollo delos ejercicios se hace nuevamente. referencia a la parte te rica fundamental, Sistemas de m ltiples grados de libertad 26 nov 2018 Ing David G C P gina 3. Objetivos del tema, Los objetivos corresponden de manera general a los de la unidad 2 por lo que este. tema cumple parcialmente a los mismos ya que no est destinado el objetivo como. uno espec fico siendo, Obtener la respuesta de sistemas din micos de varios grados de libertad. sometidos a diferentes tipos de excitaciones,Aprendizajes previos requeridos. Al llegar a este tema el alumno ya debe haber adquirido los conceptos. fundamentales de la respuesta de sistemas din micos de un grado de libertad as. como la obtenci n de espectros de respuesta, Sistemas de m ltiples grados de libertad 26 nov 2018 Ing David G C P gina 4.
DESARROLLO DEL TEMA,Sistemas con varios grados de libertad. Para realizar un an lisis din mico de un edificio se puede idealizar por medio de un. modelo de masas y resortes Figura 1 1 concentrando la masa en las losas de cada. entrepiso al tener la mayor cantidad de peso concentrado en la losa en cada piso. adem s se considera a la losa como un diafragma infinitamente r gido donde las. masas s lo admiten traslaciones horizontales En este modelo nicamente las. columnas aportan rigidez siempre que la losa se pueda comportar como un. diafragma r gido en caso contrario se debe considerar la rigidez de la losa y de las. trabes que aportan a la rigidez de entrepiso Este modelo se conoce como edificio. de cortante donde no existen rotaciones de una secci n horizontal es decir los. giros en la parte superior de las columnas son nulos y que su deformaci n axial es. despreciable,x n t x n t,x i t x i t,x 2 t x 2 t,x 1 t x 1 t. Figura 1 1 Modelo de masas y resortes sin amortiguamiento. Sistemas de m ltiples grados de libertad 26 nov 2018 Ing David G C P gina 5. Donde el n mero de niveles representa los grados de libertad en esa direcci n y. los valores de xi representan los desplazamientos horizontales de cada masa. Obs rvese que en el modelo no existe amortiguamiento. Considerando un amortiguamiento de tipo viscoso proporcional a la. velocidad se tienen un modelo que considera la fuerza inercial de las masas la. fuerza restitutiva del resorte y la de amortiguamiento Figura 1 2. cn k i 1 x i 1 x i,mi x i t mi,m i x i a t cix i,k i x i x i 1. Figura 1 2 Modelo de masas y resortes con amortiguamiento viscoso. Planteando el equilibrio din mico se obtienen ecuaciones del tipo. x1 ci x i ki ki 1 xi ki 1xi 1 ki xi 1 mi a t,de forma matricial para todo el sistema. M x C x K x M a t 1 1, donde 1 es un vector columna con todos sus elementos iguales a la unidad.
Las matrices se denotan entre corchetes mientras que los vectores con llaves o bien con una l nea en la parte. Sistemas de m ltiples grados de libertad 26 nov 2018 Ing David G C P gina 6. m 0 0 0 k k k2 0 0,0 m2 0 k2 k 2 k3 k3,0 0 mi 0 k3 ki ki 1. Siendo M y K las matrices de masa y rigidez Obs rvese que la matriz de. rigideces est acoplada tienen en algunos de sus elementos rigideces de diferentes. entrepisos,Modelo de 2 grados de libertad, Considerando un modelo de dos grados de libertad y planteando su equilibro. din mico para cada una de las masas sin considerar amortiguamiento se tiene. m1 xs c1 x 1 k1 x1 k2 x2 x1 0,m2 xs c2 x 2 k2 x2 x1 0. sin considerar amortiguamiento se tiene,m1 xs k1 x1 k2 x2 x1 0. m2 xs k2 x2 x1 0,En forma matricial, Se obtiene un arreglo de matrices cuadradas de 2x2 donde la matriz de masas.
tiene elementos en la diagonal mientras que la de rigideces tiene elementos fuera. de la diagonal Se dice que las ecuaciones est n acopladas. Sistemas de m ltiples grados de libertad 26 nov 2018 Ing David G C P gina 7. Para resolver este sistema de ecuaciones diferenciales es necesario realizar una. transformaci n de coordenadas mediante valores caracter sticos para poder. diagonalizar y desacoplar a K utilizando las siguientes ecuaciones de. transformaci n, Donde F es la matriz modal x es la coordenada de las masas y y son las. coordenadas productos de las transformadas Sustituyendo se obtiene. Premultiplicando por T,Definiendo a,se tiene que,y K y M 1 x s. Obteni ndose ecuaciones del tipo,yi k i yi f i, donde las ecuaciones ya se encuentran desacopladas Y la respuesta total del. sistema se obtiene por medio de una superposici n modal. x 1 y1 2 y2 1 2, Sistemas de m ltiples grados de libertad 26 nov 2018 Ing David G C P gina 8. Las funciones obtenidas no dependen del tiempo y corresponden con la suma de. las m ximas respuestas modales Estas respuestas resultan conservadoras puesto. que considera que las m ximas respuestas de todos los modos ocurren en el mismo. instante de tiempo, Una vez obteniendo la matriz modal se puede normalizar esa matriz de tal forma.
que al hacer se obtendr n valores unitarios,Normalizando los modos Se considera. M 0 0 mi 0,Multiplicando por cada vector modal F i. Armando la matriz modal normalizada,Fn F1n F2n Fin. Verificando que son matrices diagonales, F n T M F n se obtiene una matriz diagonal Identidad. F n T K F n se obtiene una matriz diagonal con elementos w 2 i. Factores de participaci n F P i T, Cuando se utilizan los vectores normalizados F Tin M F in 1.
Seudoaceleraci n, Desplazamientos totales de cada masa para cada modo i X i. F P i Sai F, Desplazamientos relativos se calcula la diferencia entre niveles consecutivos. El desplazamiento real se obtiene multiplicando por Q y R calculado. Regla de Rosenblueth Valor esperado, Sistemas de m ltiples grados de libertad 26 nov 2018 Ing David G C P gina 9. Considere el siguiente modelo estructural Calcule las frecuencias periodos y. formas de vibrar,gravedad 981cm s2,W1 134 5736ton k1 111 7368 ton cm. W2 134 5736ton k2 70 0468 ton cm,W3 130 2572ton k3 65 6452 ton cm.
W4 89 4770 ton k4 62 0069 ton cm,La matriz de masas y rigideces son. m1 0 0 0 0 1372 0 0 0,0 m 0 0 0 0 1372 0 0,M 2 ton s 2 seg. 0 0 m3 0 0 0 0 1328 0,0 0 0 m4 0 0 0 0 0912,k1 k2 k2 0 0 181 7836 70 0468 0 0. k k 2 k3 k3 0 70 0468 135 6920 65 6452 0,K 2 ton cm. 0 k3 k3 k 4 k4 0 65 6452 127 6521 62 0069,0 0 k4 k4 0 0 62 0069 62 0069.
Sistemas de m ltiples grados de libertad 26 nov 2018 Ing David G C P gina 10. Realizando K 2 M 0 y utilizando 2 queda como,K w2 M K f M 0. 181 7836 0 1372f 70 0468 0 0,70 0468 135 6920 0 1372f 65 6452 0. 0 65 6452 127 6521 0 1328f 62 0069,0 0 62 0069 62 0069 0 0912f. Por lo que el determinante, 0 3185866143E108 461926 8511f 1127 635743f 2 0 9014854520f 3 0 0002279065028f 4 0. Cuyas soluciones son ordenando de menor a mayor,w 22 639 8009.
w 3 1372 877,w 24 1857 1336, Ahora obtenemos las siguientes frecuencias circulares. w2 25 2943,w3 37 0524,w4 43 0945, Sistemas de m ltiples grados de libertad 26 nov 2018 Ing David G C P gina 11. Obteni ndose as los siguientes periodos con T,T1 0 67874seg. T2 0 2484seg,T3 0 16958seg,T4 0 1458seg, Para calcular los modos de vibraci n se sustituye cada uno de los valores de 2. en la ecuaci n matricial K 2,Para el primer modo, Utilizando 21 se llega al siguiente sistema homog neo de ecuaciones.
181 7836 0 1372 85 6942 70 0468 0 0 F1 1,70 0468 135 6920 0 1372 85 6942 65 6452 0 2 1. 0 65 6452 127 6521 0 1328 85 6942 62 0069 F 3 1,0 0 62 0069 62 0069 0 0912 85 6942 F 4 1. 170 0281 70 0468 0 0 F1 1 0,70 0468 123 9365 65 6452 0 F 0. 0 65 6452 116 2736 62 0069 F3 1 0,0 0 62 0069 54 1907 F 4 1 0. 170 0281F1 1 70 0468F 2 1 0,70 0468F1 1 123 9365 F 2 1 65 6452 F3 1 0.
65 6452 F 2 1 116 2736 F3 1 62 0069 F 4 1 0,62 0069 F 3 1 54 1907 F 4 1 0. Proponiendo un valor para f1 1 1 Recuerde que este sistema no tiene soluci n. nica dado que el determinante de este sistema es cero teniendo una infinidad de. soluciones se obtiene f2 1 2 42 f3 1 3 51y f4 1 4 02. Sistemas de m ltiples grados de libertad 26 nov 2018 Ing David G C P gina 12. Para el segundo modo, Utilizando w 2 2 se llega al siguiente sistema homog neo de ecuaciones. 181 7836 0 1372 639 8 70 0468 0 0 F1 2,70 0468 135 6920 0 1372 639 8 65 6452 0 2 2. 0 65 6452 127 6521 0 1328 639 8 62 0069 F3 2,0 0 62 0069 62 0069 0 0912 639 8 F 4 2. 94 0157 70 0468 0 0 F1 2 0,70 0468 47 9241 65 6452 0 F 0.
K w2 M F 2 0,65 6452 42 6993 62 0069 F3 2 0,0 0 62 0069 3 6507 F 4 2 0. 94 0157F1 2 70 0468F 2 2 0,70 0468F1 2 47 9241 F 2 2 65 6452 F3 2 0. 65 6452 F 2 2 42 6993 F3 2 62 0069 F 4 2 0,62 0069 F 3 2 3 6507F 4 2 0. Proponiendo un valor para f1 2 1 Recuerde que este sistema no tiene soluci n. nica dado que el determinante de este sistema es cero teniendo una infinidad de. soluciones se obtiene f2 2 1 3422 f3 2 0 0872 y f4 2 1 481. Sistemas de m ltiples grados de libertad 26 nov 2018 Ing David G C P gina 13. Para el tercer modo, Utilizando w 23 se llega al siguiente sistema homog neo de ecuaciones. 181 7836 0 1372 1372 877 70 0468 0 0 F1 3,70 0468 135 6920 0 1372 1372 877 65 6452 0 2 3.
0 65 6452 127 6521 0 1328 1372 877 62 0069 F3 3,0 0 62 0069 62 0069 0 0912 1372 877 F 4 3. 6 5477 70 0468 0 0 F1 3 0,70 0468 52 6393 65 6452 0 F 0. K w3 M F3 0,65 6452 54 6385 62 0069 F 3 3 0,0 0 62 0069 63 2132 F 4 3 0. 6 5477F1 3 70 0468F 2 3 0,70 0468F1 3 52 6393 F 2 3 65 6452 F 3 3 0. 65 6452 F 2 3 54 6385 F 3 3 62 0069 F 4 3 0,62 0069 F 3 3 63 2132 F 4 3 0.
Proponiendo un valor para f1 3 1 Recuerde que este sistema no tiene soluci n. nica dado que el determinante de este sistema es cero teniendo una infinidad de. soluciones se obtiene f2 3 0 0935 f3 3 0 9921y f4 3 0 9732. Sistemas de m ltiples grados de libertad 26 nov 2018 Ing David G C P gina 14. Para el cuarto modo, Utilizando w 2 4 se llega al siguiente sistema homog neo de ecuaciones. 181 7836 0 1372 1857 1336 70 0468 0 0 F1 4,70 0468 135 6920 0 1372 1857 1336 65 6452 0 2 4. 0 65 6452 127 6521 0 1328 1857 1336 62 0069 F3 4,0 0 62 0069 62 0069 0 0912 1857 1336 F 4 4. 72 978 70 0468 0 0 F1 4 0,70 0468 119 0696 65 6452 0 F 0. K w4 M F 4 0,65 6452 118 9381 62 0069 F 3 4 0,0 0 62 0069 107 3823 F 4 4 0.
72 978F1 4 70 0468F 2 4 0,70 0468F1 4 119 0696 F 2 4 65 6452 F 3 4 0. 65 6452 F 2 4 118 9381 F 3 4 62 0069 F 4 4 0,62 0069 F 3 4 107 3823 F 4 4 0. Proponiendo un valor para f1 4 1 Recuerde que este sistema no tiene soluci n. nica dado que el determinante de este sistema es cero teniendo una infinidad de. soluciones se obtiene f2 4 1 0418 f3 4 0 8227 y f4 4 0 4751. Sistemas de m ltiples grados de libertad 26 nov 2018 Ing David G C P gina 15. de An lisis Estructural 2 El alcance de este trabajo es mostrar como se modela un edificio de varios grados de libertad la obtenci n de la ecuaci n din mica las frecuencias modos de vibrar y un an lisis modal espectral utilizando las Normas T cnicas Complementarias de Dise o por Sismo de la Ciudad de M xico publicadas en 2017

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