Equations aux d riv es partielles et applications

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104 PIERRE LOUIS LIONS, o c0 c1 c2 0 Le mod le de Thomas Fermi TF abr g correspond au choix. c1 c2 0 c0 0 le mod le de Thomas Fermi Von Weisz cker TFW en abr g. celui de c0 c1 0 c2 0 et enfin le mod le de Thomas Fermi Dirac Von. Weisz cker TFDW en abr g celui de c0 c1 c2 0, Pour les mod les de Hartree ou Hartree Fock on introduit N fonctions d onde. 1 N H1 R3 N 1 N N normalis es i e i 2dx 1 1 i N Et la. fonctionnelle d nergie est pour le mod le de Hartree H en abr g. et pour le mod le de Hartree Fock HF en abr g, et dans ce cas les fonctions i sont orthogonales i e R3 i j ij 1 i j N. Dans les expressions pr c dentes on note x Ni 1 i x 2 x y Ni 1. L nergie fondamentale du syst me mol culaire tudi S N m z1 zm. est alors pour chacun de ses mod les l infimum de l nergie parmi toutes les. configurations possibles x 1 x m pour les mod les de type TF 1 N. x 1 x m pour les mod les de type H ou HF v rifiant les contraintes d crites ci. dessus 0 R3 dx N pour les mod les de type TF R3 i 2dx 1 pour H et. R3 i jdx ij pour HF, Lorsque la g om trie est fix e i e x 1 x m sont fix s l existence d un mini. mum est connue sous l hypoth se Z N pour les mod les de type TF travaux de. E H Lieb et B Simon pour TF R Benguria H Br zis et E H Lieb pour TFW et. l auteur pour TFDW et Z N 1 pour les mod les H ou HF travaux de E H Lieb. et B Simon et de l auteur En revanche la question de l existence d une confi. guration optimale compl te g om trie incluse est beaucoup plus d licate puisque. la r ponse est n gative pour TF argument de Teller justifi math matiquement. par E H Lieb et B Simon On note E S l nergie fondamentale du syst me. 2 Existence d une g om trie optimale, Les nergies consid r es ci dessus sont clairement invariantes par translation.
globale du syst me Ceci motive la notion suivante de stabilit mol culaire S est. QUATIONS AUX D RIV ES PARTIELLES ET APPLICATIONS 105. dit stable si toute suite minimisante n x 1n x mn ou 1n Nn x 1n x mn est relati. vement compacte une translation pr s Bien s r si S est stable il existe une. configuration optimale, Ainsi que nous l avons indiqu ci dessus pour le mod le TF aucun syst me S. avec m 2 n est stable En revanche il avait t conjectur par E H Lieb que tout. syst me neutre Z N est stable dans le cadre du mod le TFW la suite des tra. vaux ant rieurs th oriques ou num riques de Balasz Benguria Br zis et Lieb. et Gombasz dans le cas o m 2 Dans une s rie de travaux en collaboration avec. I Catto nous avons tabli que c tait bien le cas pour les mod les TFW TFDW. et H Le cas du mod le HF reste enti rement ouvert Plus pr cis ment les r sul. tats suivants sont connus on appelle partition non triviale S1 S2 de S le choix. de p 0 m M 0 N et de deux sous syst mes compl mentaires. S1 M p z i z p S2 N M m p z p 1 z m, o est une perturbation de 1 m et on s interdit de choisir p M 0 0 ou. Enfin l op ration d union de deux syst mes tant clairement d fini par l addi. tion du nombre de noyaux et d lectrons et par l union des charges on dit que. l on peut lier S1 et S2 si,4 E S E S1 E S2, i tous mod les S est stable si et seulement si 4 a lieu pour toute partition. non triviale S1 S2 de S, ii tous mod les si S est neutre i e Z N S est stable si et seulement si 4. a lieu pour toute partition S1 S2 non triviale de S telle que S1 et S2 soient neutres. iii mod les TFW TFDW ou H on peut lier deux syst mes neutres quelconques. et donc tout syst me neutre est stable,3 Limite thermodynamique.
Nous consid rons maintenant la question de la limite thermodynamique ou. bulk limit pour d terminer l nergie fondamentale et la densit lectronique. d un cristal i e d un syst me mol culaire infini avec une g om trie p riodique. fix e Pour simplifier la pr sentation les extensions un cadre g n ral tant sans. difficult nous consid rons le r seau p riodique Z3 et supposons que sur. chaque site k Z3 se trouve un noyau de charge z prise gale 1 par exemple. Et nous nous restreindrons ici au cas du mod le TFW le mod le TF ayant t d j. trait par E H Lieb et B Simon Les r sultats qui suivent ont t obtenus en col. laboration avec I Catto et C Le Bris, On approxime le probl me infini par une suite de syst mes finis i e une. suite croissante d ensemble finis N tels que,106 PIERRE LOUIS LIONS. o N k Q et Q 12 12 3 On note alors,5 IN inf E N 0, et N l unique minimum correspondant de sorte que N uN v rifie uN H1 R3. avec N R N 0 N L3 R3, ii N converge uniform ment sur tout compact quand N tend vers vers la. solution du probl me de minimisation pr c dent, La longue d monstration de ce r sultat inclut diverses tapes dont le r sul.
tat suivant sur l existence et l unicit des solutions du syst me correspondant 6. pour des syst mes infinis beaucoup plus g n raux que des cristaux On consi. d re en effet une mesure non n gative m v rifiant la propri t suivante pour un. r seau cette hypoth se correspond la notion classique de r seau de Delaunay. Et on introduit le syst me, Il existe une unique solution u de 9 De plus inf u 0. QUATIONS AUX D RIV ES PARTIELLES ET APPLICATIONS 107. i La propri t de minoration de u joue en fait un r le crucial dans notre d mons. tration de l unicit Et l hypoth se 8 est en fait n cessaire et suffisante pour assu. rer cette propri t, ii Bien s r si m est presque p riodique u l est aussi et on peut alors d fi. nir une notion d nergie par unit de volume g n ralisant ainsi compl tement le. r sultat concernant la limite thermodynamique pour une g om trie p riodique au. cas presque p riodique,S MINAIRES, 17 octobre 2003 Laure Saint Raymond Universit Paris 6 Laboratoire. J L Lions De la dynamique mol culaire aux quations de la m canique des. 24 octobre 2003 Mario Pulvirenti Universit de Rome 1 On the deriva. tion of the Quantum Boltzmann equation, 7 novembre 2003 Takis Souganidis Universit du Texas Austin. Stochastic homogenization for first and second order partial differential equations. 14 novembre 2003 Jean Fr d ric Gerbeau INRIA Rocquencourt Simuler. l interaction fluide structure dans les art res, 21 novembre 2003 ric S r Universit Paris Dauphine Mod les rela.
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Membre du Visiting Committee du CEA, Membre du Conseil Scientifique de l Institut Europlace de Finance. Membre du Scientific Advisory Panel de l European Mathematical Society. Membre fondateur du Comit International de l International Summer. School of Applied Mathematics Morningside Institute Chinese Academy of. Administrateur d Alcatel, Conseiller Scientifique aupr s de BNP Paribas CAI CPR EADS LV. Stochastic homogenization for first and second order partial differential equations 14 novembre 2003 Jean Fr d ric Gerbeau INRIA Rocquencourt Simuler l interaction fluide structure dans les art res 21 novembre 2003 ric S r Universit Paris Dauphine Mod les rela tivistes en Chimie Quantique

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