Development of geostatistical models using Stochastic

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  • Date:16 Sep 2020
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He1 who loves practice without theory is like,the sailor who boards ship without a rudder. and compass and never knows where he may,Leonardo da Vinci. It also applies for a she and for any other human being. This dissertation presents theoretical advances in the application of the Stochastic Partial Differential Equa. tion SPDE approach in Geostatistics This recently developed approach consists in interpreting a region. alised data set as a realisation of a Random Field satisfying a SPDE Within the theoretical framework of. Generalized Random Fields with a mean square analysis we are able to describe with a great generality the. influence of a linear SPDE over the covariance structure of its potential solutions A criterion of existence. and uniqueness of stationary solutions for a wide class of conveniently defined linear SPDEs has been ob. tained together with an expression for the related spectral measures This result allows to encompass a great. variety of already known relationships between stationary covariance models and SPDEs It also allows. us to obtain new stationary covariance models that are easily related to SPDEs and to propose SPDEs for. some already known covariance models such as the Stein model and the J Bessel model We apply these. results to construct spatio temporal covariance models having non trivial properties By analysing evolution. equations presenting an arbitrary fractional temporal derivative order we have been able to develop non. separable models with controllable non symmetric conditions and separate regularity over space and time. We present results concerning stationary solutions for physically inspired SPDEs such as the advection. diffusion equation the Heat equation some Langevin equations and the Wave equation We also present. developments on the resolution of a first order evolution equation with initial condition We then study a. method of non conditional simulation of stationary models within the SPDE approach following the reso. lution of the associated SPDE through a convenient PDE numerical solver This simulation method whose. practical applications are already present in the literature can be catalogued as a spectral method It consists. in obtaining an approximation of the Fourier Transform of the stationary Random Field using a procedure. related to the classical development on Fourier basis and for which the computations can be efficiently ob. tained through the use of the Fast Fourier Transform We have theoretically proved the convergence of this. method in suitable weak and strong senses We show how to apply it to numerically solve SPDEs relating the. stationary models developed in this work and we present a qualitative error analysis in the case of the Mat rn. model Illustrations of models presenting non trivial properties and related to physically driven equations. are then given, Ces travaux pr sentent des avanc es th oriques pour l application de l approche EDPS quation aux D riv es. Partielles Stochastique en G ostatistique On consid re dans cette approche r cente que les donn es r gion. alis es proviennent de la r alisation d un Champ Al atoire satisfaisant une EDPS Dans le cadre th orique. des Champs Al atoires G n ralis s avec une analyse en moyenne quadratique nous avons d crit avec une. grande g n ralit l influence d une EDPS lin aire sur la structure de covariance de ses ventuelles solu. tions Un crit re d existence et d unicit des solutions stationnaires pour une classe assez large d EDPSs. lin aires a t obtenu ainsi que des expressions pour les mesures spectrales reli es Ce r sultat nous per. met de rassembler dans un cadre unifi un grand nombre de liens d j connus entre mod les de covariance. stationnaires et EDPSs Il nous permet en outre d obtenir de nouveaux mod les de covariance stationnaires. imm diatement reli s des EDPSs et de proposer des EDPSs pour des mod les de covariance d j con. nus comme le mod le de Stein et le mod le J Bessel Nous appliquons ces r sultats la construction de. mod les de covariance spatio temporels pr sentant des propri t s int ressantes travers l analyse des qua. tions d volution comprenant un op rateur diff rentiel temporel d ordre fractionnaire arbitraire nous avons. d velopp des mod les non s parables ayant des conditions d asym trie et de r gularit s spatiale et tem. porelle s par es contr lables Nous pr sentons des r sultats concernant des solutions stationnaires pour des. EDPSs issues de la physique telle que l quation d advection diffusion l quation de la chaleur quelques. quations de Langevin et l quation d onde Nous pr sentons aussi des d veloppements pour la r solution. des mod les d volution de premi re ordre ayant une condition initiale Puis nous tudions une m thode de. simulation non conditionnelle pour des mod les stationnaires dans le cadre de l approche EDPS Pour cela. nous nous inspirons de la r solution de l EDPS associ e moyennant une m thode de r solution num rique. des EDP choisie de mani re appropri e Cette m thode de simulation dont son application pratique est d j. pr sente dans la litt rature peut tre consid r e comme une m thode spectrale Elle consiste obtenir une. approximation de la Transform e de Fourier du Champ Al atoire stationnaire par une proc dure intimement. reli e au d veloppement classique en base de Fourier et pour laquelle nous pouvons obtenir des m thodes. de calcul efficaces gr ce la Transform e de Fourier Rapide Nous avons d montr th oriquement la con. vergence de cette m thode dans aux sens faible et forte dans des conditions appropri es Nous montrons. comment appliquer cette m thode pour la r solution num rique des EDPSs reliant les mod les stationnaires. d velopp s dans ces travaux et nous pr sentons une analyse qualitative de l erreur pour le cas du mod le. Mat rn Des illustrations de mod les pr sentant des propri t s non triviales et reli s des quations de la. physique sont alors pr sent es,Acknowledgements, This acknowledgement section can be also considered as a d dicace section since this work is also dedicated. to every person mentioned here It will be written in a quite particular way I will use three different. languages depending on which language do I share in common with the people I mention if there is no. common language I use English I hope this section ne sera pas trop difficile de entender. Quiero comenzar agradeciendo a la gente m s importante de mi vida a mi familia a la cual le debo. todo y a n m s Les debo sobretodo unas disculpas por aislarme durante mis per odos de mayor trabajo en. vez de contar con ellos estar m s presente y permitirles darme los nimos necesarios S lo en retrospectiva. uno puede darse cuenta de cu nto hace falta la gente que amas en el momento correcto Quiero agradecer. el apoyo incondicional de mi Madre de mi Padre y de mi Hermano Los amo mucho y que no se les olvide. que a esto vine Agradezco tambi n a esa familia con la que no tengo la suerte de compartir m s seguido a. mi cu ada la Sole a mis primos Crist bal Vale Nacho y en rigor prima tambi n Cahui a toda la familia. de Iquique a mis padrinos y a la familia Contzen Acevedo Todos ustedes siempre estuvieron presentes. I would like to thank professors Annika Lang Josselin Garnier Finn Lindgren and Hermine Bierm for. having the kindness of having accepted to be part of my defense s jury and for their time and patience used. to read this work and for contributing to it with their critics comments and suggestions Being read by you. has been an honour, Je voudrais remercier avec un grand enthousiasme les deux personnes qui m ont encadr tout au long.
de ces trois ann es et plus Denis Allard pour sa patience pour la pression qu il a mis au moment o. il fallait et pour ses tentatives souvent mais pas toujours fructueuses de me faire comprendre et accepter. la r alit sociale Nicolas Desassis pour avoir t beaucoup plus qu un encadrant un ami un grand fr re. et un coll gue qui tait toujours l pour m couter et pour travailler avec moi et qui m a aussi respect. plus qu il ne devait le faire Je le remercie pour m avoir support surtout aux pires moments Je tiens lui. promettre que plus jamais personne ne devra s endormir 3h00 du matin cause de moi. Je voudrais remercier tout le personnel du Centre de G ostatistique de Fontainebleau qui m a accueilli. pendant plus de trois ans En particulier je voudrais remercier mon directeur de th se Hans Wackernagel. pour son soutien son encouragement et sa capacit me faire revenir la r alit lorsque je le devais. Christian Lantuejoul qui a t toujours disponible pour changer avec moi sur des sujets divers mais. surtout des maths Je suis tr s ravi de toutes les fois o il a compt sur moi pour partager ses propres. recherches et questions il a t une aide indispensable morale et professionnellement parlant Je remercie. Jacques Rivoirard pour son bon travail de chef du centre sp cialement lorsqu il s agissait de me donner des. bonnes le ons de diplomatie Christian Lajaunie pour ses contributions et suggestions Didier Renard. pour cr er la bonne ambiance tous les jours Thomas Romary pour toutes les discussions sur des sujets. matheux et pas trop matheux milie Chautru pour sa gentillesse et sa disponibilit m aider dans des. sujets professionnels ou pas Xavier Freulon pour avoir toujours t int ress par mon travail Fabien. Ors pour sa patience incroyable au moment de m aider avec mes probl mes informatiques Ga lle Le. Loch pour ses le ons au moment de faire des TPs pour les CFSG et pour supporter les fois o je chantais. plus fort que je ne devais pr s de son bureau Nathalie Dietrich et Isabelle Schmitt pour m avoir aid. avoir toujours tout en ordre, Je voudrais remercier le professeur Olivier Laffitte pour avoir donn le cours que j ai le plus appr ci. pendant mes ann es du cycle ing nieur des Mines Je le remercie aussi pour m avoir encourag et guid. dans ma recherche de th se pour avoir toujours t attentif mes probl matiques pendant le doctorat pour. s int resser ma soutenance laquelle il a invit tout le cours de Th orie des Distributions et pour son aide. dans ma recherche d emploi apr s th se C est toujours un plaisir d changer avec vous. Je voudrais remercier Angela Taddei et Michel Morange pour avoir organis le cours de sensibilisation. l Histoire l pist mologie et l thique des Sciences qui est peut tre le cours que j ai le plus appr ci de. toute ma vie Quelle motion de faire autant de pol miques. Quiero agradecer a varios de mis profesores de la Pontificia Universidad Cat lica de Chile mi verdadera. y nica alma m ter Quiero agradecer a Rolando Rebolledo por todo el apoyo que me di durante mis. cursos de Integraci n y Probabilidades adem s de su ayuda en las postulaciones a doble t tulo y a doctorado. en Par s Agradezco a Luis Disset por su primer curso de matem ticas abstractas en donde con mucho. dolor aprend a arreglar mi mente A Carlos Jerez por sus fructuosos intentos de mejorar la especialidad. de Ingenier a Matem tica en la PUC y a quien aprovecho de prometerle que todas las deudas se pagar n. tarde o temprano A Wolfgang Rivera por acompa arme durante todo mi desarrollo en la PUC desde mis. primeros pasos como novicio en las matem ticas gracias por hacerme popular hasta como ayudante. de sus propios cursos Finalmente quisiera agradecer a lvaro Alarc n por su no tan formal curso de. modelos estoc sticos en donde aprend quiz s una de las lecciones m s importantes que he recibido en mi. vida acad mica lo importante de un modelo matem tico no es que sea realista lo importante es que sea til. Je tiens remercier maintenant mes coll gues et amis avec qui l on a partag une partie de nos vies au. centre de Fontainebleau Je remercie Jihane Belhadj et Anna Bubnova pour m avoir accueilli chaleureuse. ment dans notre bureau et donc pour avoir support tous mes d lires et mes chansons lorsque je ne contr lais. pas mes envies de faire du bruit Robin Alais pour ses magnifiques soir es chez lui o l on a profit. en particulier de ses tr s int ressants instruments de musique ma presque colocatrice Marine Demangeot. pour m avoir sauv la vie un million de fois en m accueillant chez elle Fontainebleau lorsque j avais du. mal rentrer Paris le soir mon canard d air Laure Pizzella pour animer le bureau avec de nombreux. commentaires marrants et des sourires contagieux Jean Langanay pour s tre toujours pr sent dans les. rencontres sociales et pour tre toujours int ress par mes travaux A los chilenos cul H ctor y Esteban que. me hicieron explotar de risa muchas veces en un centro de investigaci n que generalmente es un tanto serio. MariAngela Donati pour les bonnes conversations autour de bi res To Eirini Skylogianni who sadly did. not stay long in the Center so I miss her Au reste des doctorants du Centre en particulier L a Mathieu. Alan Aurelien Albane Angelique Eric Pierre Nico Leonardo etc Je remercie aussi Soufiane qui a rendu. plus int ressantes mes visites en Avignon Et pour finir je voudrais remercier de fa on sp ciale mon pote. coll gue du cycle ing coll gue de th se en G ostatistique coll gue des maths et coll gue de la vie Mike. Pereira partager avec toi ces moments ces travaux et en g n ral le plaisir de faire des math matiques. appliqu es a t l une des plus belles exp riences de ma vie. Je voudrais remercier toutes les personnes qui m ont accompagn physiquement pendant mon s jour. Paris et qui ont allum ma vie lors des derni res ann es Quiero agradecer a Mart n Costa por aparecer en. mi vida de modo sorpresivo y por tener siempre algo que hacer para distraerme desde entonces Quiero. Development of geostatistical models using Stochastic Partial Differential Equations Soutenue par Ricardo Carrizo Vergara Le 18 d cembre 2018 cole doctorale no432 Sciences des M tiers de l Ing nieur Sp cialit G ostatistique et Probabi lit s Appliqu es Composition du jury Hermine BIERM Professeur Universit de Poitiers Pr sidente Annika LANG Professeur associ e Chalmers

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