5 1 Introducci n te rica bibing us es

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Cap tulo 5 An lisis modal,m x kx 0 5 1 3, que tiene una soluci n general de la forma x t Xe iwt con X complejo Introduciendo. esta soluci n en la ecuaci n 5 1 3 se tiene que la frecuencia natural de este sistema es. Si se considera una excitaci n de la forma f t Fe iwt con F complejo y se introduce. la expresi n de x t y de f t en 5 1 2 se puede calcular la funci n de respuesta en. frecuencia,Caso 2 con amortiguamiento viscoso,Si se considera una vibraci n libre se tiene. m x c x kx 0 5 1 5, cuya soluci n general es de la forma x t Xe st donde s es un n mero complejo no. s lo imaginario Introduciendo esta soluci n en la ecuaci n 5 1 5 se tienen los valores. s1 2 w0 iw0 1 2 5 1 6, donde w02 y lo que implica que la soluci n tiene la forma. x t Xe w0t e it w0 que est compuesta de una parte oscilatoria con una frecuencia. w0 w0 1 2 y otra parte real que est amortiguada con un coeficiente w0. Si se considera la respuesta forzada con f t Fe iwt y se supone que la respuesta sea de. la forma x t Xe iwt entonces se puede calcular la funci n de respuesta en frecuencia. introduciendo estas expresiones en 5 1 1,k w m i wc.
Caso 3 con amortiguamiento estructural, Este amortiguamiento se puede expresar como ce Siguiendo un desarrollo paralelo. al del caso anterior se puede llegar a la siguiente funci n de respuesta en frecuencia. AN LISIS MODAL OPERACIONAL TEOR A Y PR CTICA 52,Cap tulo 5 An lisis modal. 1 w w0 2 i, donde es el coeficiente de p rdidas por amortiguamiento estructural que. sustituye a la relaci n de amortiguamiento cr tico usado en el caso de. amortiguamiento viscoso,5 1 2 Modelo de m ltiples grados de libertad. Las ecuaciones del movimiento que gobiernan a un sistema de N grados de libertad se. pueden escribir de forma matricial de la siguiente manera. M x t C x t K x t f t 5 1 9, donde M C y K son matrices de dimensiones N x N de masa amortiguamiento y.
rigidez respectivamente x t y f t son vectores de dimensiones N x 1 que recogen. las variaciones temporales de los desplazamientos y de las fuerzas. Caso 1 sin amortiguaci n, Las ecuaciones que gobiernan el movimiento se pueden escribir en forma matricial. M x t K x t f t 5 1 10, Primero se va a considerar el caso de respuesta libre por lo que f t es nulo Se supone. que la soluci n es de la forma x t X e iwt donde X es un vector compuesto por. N x 1 amplitudes independientes del tiempo, Sustituyendo en la ecuaci n 5 1 10 con f t nulo se llega a. cuyas soluciones diferentes de la trivial satisfacen det K w 2 M 0 y de donde se. obtienen los N valores de w2 que son las frecuencias naturales del sistema sin. amortiguaci n, La soluci n completa se puede expresar en dos matrices N x N que son wr2. donde w es el r simo autovalor o frecuencia natural al cuadrado y r es una. descripci n del correspondiente modo de vibraci n,AN LISIS MODAL OPERACIONAL TEOR A Y PR CTICA 53.
Cap tulo 5 An lisis modal, En este caso el Modelo Espacial lo forman las matrices M y K y el Modelo Modal. wr2 y Es conveniente recordar que las frecuencias naturales se representan. por valores nicos mientras que los modos de vibraci n pueden representarse por. cualquier vector que sea proporcional al calculado. Ahora se considera la respuesta forzada de este sistema Se supone que la excitaci n es. la siguiente f t F e iwt y que la soluci n es de la forma x t X e iwt donde. F y X son vectores de N x 1 amplitudes complejas independientes del tiempo. Introduciendo esto en la ecuaci n 5 1 10 se puede calcular la funci n de respuesta en. frecuencia que es una matriz sim trica de orden N x N Esto se debe al hecho de que las. matrices de masa rigidez y amortiguamiento que describen el sistema tambi n lo son. H w K w 2 M 1,Propiedades de ortogonalidad, El Modelo Modal posee algunas propiedades importantes que se muestran a. continuaci n,T M mr 5 1 13,T K k r 5 1 14, de donde se puede ver que wr2 mr k r donde mr y kr se llaman masa modal y. rigidez modal del modo r Como la matriz de autovectores no es nica los valores de. masa y rigidez modal no son nicos se hace la siguiente normalizaci n. T M I 5 1 15,T K wr2 5 1 16, La relaci n entre los modos normalizados y los calculados de manera general es. r r donde mr Tr M r 5 1 17, Se puede demostrar que esta propiedad de ortogonalidad implica.
Ts K r 0 r s 5 1 18,Tr M r mr 5 1 19,Tr K r k r 5 1 20. y adem s se cumple wr2 k r mr,AN LISIS MODAL OPERACIONAL TEOR A Y PR CTICA 54. Cap tulo 5 An lisis modal,Caso 2 con amortiguamiento proporcional. El sistema de ecuaciones de este caso viene dado por la ecuaci n matricial 5 1 9 donde. la matriz C se puede escribir C K M, Los modos que se obtienen en este caso son iguales que los del caso anterior sin. amortiguar Las frecuencias naturales tienen una parte real 5 2 21 y otra imaginaria. r wr r 5 1 21,wr wr 1 r2 5 1 22,Caso 3 con amortiguamiento estructural.
Suponiendo que la excitaci n es arm nica se tiene el siguiente sistema. M x t K x t i D x t F e iwt 5 1 23, Primero se estudia la vibraci n libre cuya soluci n general es de la. forma x t X e it donde puede ser complejo Sustituyendo en la ltima expresi n. se pueden obtener las frecuencias naturales complejas y los modos de vibraci n que. tambi n son complejos El r simo autovalor que se obtiene es. r2 wr2 1 i r 5 1 24, donde wr es la frecuencia natural y r es el coeficiente de p rdidas por amortiguamiento. Si se considera la respuesta forzada suponiendo que la soluci n es arm nica es decir. x t X eiwt se puede calcular la funci n de respuesta en frecuencia. H w K i D w 2 M,Caso 4 con amortiguamiento viscoso. Primero se considera que la excitaci n es nula para determinar los modos de vibraci n. suponiendo que la soluci n es de la forma x t X e st Sustituyendo esto se obtiene. un problema de autovalores y autovectores complejos Las soluciones que se obtienen. son complejas conjugadas,r 1 N 5 1 26, Cada autovalor sr se puede expresar con el siguiente n mero complejo. AN LISIS MODAL OPERACIONAL TEOR A Y PR CTICA 55,Cap tulo 5 An lisis modal.
s r wr r i 1 r2 5 1 27, donde wr es la frecuencia natural y r es el coeficiente de amortiguamiento cr tico para. cada modo Las dos condiciones de ortogonalidad se muestran a continuaci n. s r s q q M r q C r 0,s r s q q M r q K r 0, En el caso de respuesta forzada se supone que la soluci n es arm nica al igual que la. excitaci n Se define un nuevo vector de coordenadas u que es de orden 2N y que. contiene los desplazamientos x y las velocidades x u. El sistema general de ecuaciones resultante en forma matricial es el siguiente. u u 0 A u B u 0 5 1 30, Suponiendo que la soluci n general es de la forma u t U e st se pueden obtener 2N. autovalores y autovectores del sistema que en general ser n pares complejos. conjugados El vector de fuerzas se puede expresar de la siguiente. forma P 2 N x 1,5 2 Concepto, El an lisis modal es un proceso mediante el cual se describe una estructura en t rminos. de sus propiedades din micas o par metros modales que son la frecuencia el. amortiguamiento y los modos de vibraci n para todos los modos en el rango de. frecuencias de inter s Todas las estructuras poseen frecuencias naturales y modos de. vibraci n que dependen b sicamente de la masa y de la rigidez de la estructura En el. dise o es necesario identificar estas frecuencias y conocer c mo afectan a la respuesta. de la estructura cuando una fuerza act a sobre la misma El an lisis modal es una. herramienta eficiente para describir comprender y modelar el comportamiento de las. estructuras, Se puede dar una definici n simplificada del an lisis modal compar ndolo con el.
an lisis en frecuencia En el an lisis en frecuencia una se al compleja se descompone. en una serie de simples ondas senoidales con par metros de amplitud y frecuencia. individuales En el an lisis modal una deformaci n compleja de una estructura se. descompone en una serie de simples modos de deformaci n con par metros de. frecuencia y amortiguamiento individuales Su fin ltimo es la construcci n de un. Modelo Modal del comportamiento de la estructura,AN LISIS MODAL OPERACIONAL TEOR A Y PR CTICA 56. Cap tulo 5 An lisis modal, Estudia la estructura cuando se encuentra sometida a una excitaci n conocida con el. objetivo de obtener un modelo matem tico del comportamiento din mico de la. estructura El procedimiento consiste en la adquisici n de datos su an lisis y luego. determinar todos los par metros modales, Los par metros modales son importantes porque describen las propiedades din micas. inherentes de una estructura El conocimiento del amortiguamiento modal es muy til. para predecir la vida a fatiga y reducir las respuestas en resonancia como se puede ver. en James III et al 1992 En un ensayo din mico se aplica una carga din mica a la. estructura Dicha carga tiene componentes en un cierto rango de frecuencias y la. estructura responde a todas las frecuencias pero entrar en resonancia cuando las. componentes coincidan con las frecuencias naturales de la estructura La respuesta de la. estructura ser una superposici n lineal de todos los modos de vibraci n excitados Una. propiedad importante de los modos es que cualquier respuesta de la estructura puede ser. expresada como una combinaci n de una serie de modos. Cada pico de la respuesta de una estructura puede ser representado por un modelo f sico. de un grado de libertad Dicho modelo consistir en una masa puntual sostenida por un. muelle sin masa y conectada con un amortiguador viscoso Adem s dicha masa tiene. restringido todos sus movimientos excepto uno el que comprime el muelle y el. amortiguador Tambi n se puede hacer un modelo matem tico que describe el. comportamiento de este sistema de un grado de libertad en el dominio del tiempo. mediante la aplicaci n de la segunda ley de Newton al modelo f sico. El espectro de frecuencia de la respuesta de un sistema mec nico presenta tantos picos. como grados de libertad posea el sistema Las frecuencias modales se determinan. observando los picos de la FRF mientras que los amortiguamientos modales no son tan. f ciles de determinar siendo a menudo par metros medidos con un cierto grado de. incertidumbre, Como la matriz de la funci n de respuesta en frecuencia es sim trica s lo es necesario. calcular una fila o una columna de dicha matriz para poder obtener los modos Para esto. hay que ir desplazando el punto en el que se aplica la fuerza externa al sistema por los. diferentes puntos de medida, Los modos se pueden obtener observando la parte imaginaria de los espectros de.
frecuencia para la fila o columna medida como se describe en Avitabile 2001 En. dichas representaciones aparecen unos picos a ciertas frecuencias que coinciden con las. frecuencias naturales del sistema Dichos picos contienen la informaci n de la amplitud. de cada uno de los modos de vibraci n Uniendo las amplitudes de los picos que. aparecen en una determinada frecuencia que se obtienen para la misma fila o columna. medida el resultado es la representaci n del modo de vibraci n asociado a dicha. frecuencia natural, Es fundamental para el c lculo de los modos de vibraci n de una estructura que no se. coloque el punto de medida sobre un nodo del modo que se desea medir Esto se debe a. que la parte imaginaria de la FRF no proporcionar ning n pico para la frecuencia. asociada a ese modo,AN LISIS MODAL OPERACIONAL TEOR A Y PR CTICA 57. Cap tulo 5 An lisis modal, El an lisis modal tiene muchas utilidades Las m s importantes se muestran a. continuaci n, comprender como se comportan las estructuras bajo la acci n de fuerzas din micas. medir las propiedades de la estructura cuando se somete a una vibraci n para refinar y. validar modelos anal ticos Cada vez se usan m s los ensayos din micos combinados. con los an lisis de elementos finitos para mejorar los modelos anal ticos a partir de los. cuales se pueden identificar los par metros de las secciones m dulo de Young apoyos. desarrollar un modelo ya que proporciona una descripci n definitiva del. comportamiento de una estructura que puede ser evaluada para ciertas especificaciones. del dise o, controlar la integridad de cierta estructura y su comportamiento con el fin de detectar.
problemas y evitarlos Es un campo de aplicaci n creciente ya que estructuras como. puentes est n sometidos a cargas cada vez mayores y que se ven deteriorados por el. paso de los a os como se indica en He et al 2004, comprobar el estado de las estructuras despu s de sufrir da os como por ejemplo los. debidos a un terremoto, ayudar en el dise o de todo tipo de estructuras aviones naves espaciales coches. raquetas de tenis y hacer simulaciones en el desarrollo de prototipos. predecir o simular la respuesta a excitaciones externas o c mo se comportar la. estructura bajo otras condiciones de operaci n diferentes. simular cambios en las caracter sticas din micas debido a modificaciones f sicas bien. sea a adiendo una carga mayor o una rigidez para obtener una propiedad din mica. estimar las fuerzas que act an sobre la estructura. hacer un an lisis del ensamblaje de estructuras,5 3 T cnicas de excitaci n. Las t cnicas de excitaci n se pueden dividir en dos tipos las que permanecen en. contacto con la estructura durante el ensayo y las que no Las primeras pueden. proporcionar una excitaci n continua sinusoidal aleatoria etc o transitoria pulso y. para ello se emplean los excitadores electromec nicos electromagn ticos y. Para el an lisis modal experimental no es preciso el c lculo de estas matrices 5 1 1 Modelo de un grado de libertad El sistema de un grado de libertad es el m s sencillo para ilustrar muchos de los conceptos relacionados con las vibraciones En la siguiente figura se muestra un esquema de este sistema Dicho sistema se compone de una masa m de un amortiguador c de un muelle o resorte k

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